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Somos un grupo de estudiantes de Contaduría Pública de primer semestre de la Universidad de los Llanos, queremos compartir un tema muy interesante y de utilidad para todos los humanos, ya que pensar, razonar y actuar es lo que hacemos diariamente, la lógica es indispensables, por eso queremos que la conozcan un poco más. Esperamos que este espacio sea de su agrado y que podamos compartir cosas interesantes y que los conocimientos que se puedan intercambiar sean una retroalimentación efectiva, de agrado y de mucho aprendizaje.

Cordialmente,

Clara Patricia Anchicoque Zorro 142002539 Legnny Alejandra Cruz Saray 142002538 Anjhinson Ferney Romero Avila 142002531 Andrés Felipe Hernández López 142002516


 * LÓGICA **

La denominación de la lógica, está directamente relacionada con la palabra griega logos, cuyo significado en griego antiguo es equivalente a“pensamiento” o “razón”, pero también “palabra” o “conocimiento”; y logiké era “lo relativo al logos” En definitiva, se trata del estudio de la forma en que funciona la facultad humana de pensar y razonar.



__** HISTORIA **__

La principal aportación de Aristóteles fue la silogística, el estudio del procedimiento de raciocinio por medio del silogismo, en que de dos premisas se deduce una conclusión; también llamada lógica de las proposiciones o lógica “clásica”. Los filósofos ulteriores, sobre todo los pertenecientes a la escuela estoica pre-cristiana y a la escolástica medieval desarrollaron a fondo la lógica de las proposiciones; sistematizando y completando la silogística aristotélica así como llegaron a desarrollar las llamadas “lógicas modales”.

Fue así que la lógica matemática - también llamada lógica simbólica - se desarrolló efectivamente en el siglo XIX, especialmente a partir de George Boole (Inglaterra, 1815 - 1864), autor de la obra “Investigación de las leyes del pensamiento en que se fundan la teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad”, en que se originara la conocida como “álgebra booleana”; que conjuntamente con Frege consiguió construir cálculos lógicos rigurosamente formalizados, que permitieron aplicar a los problemas lógicos los procedimientos matemáticos. La obra culminante de la lógica simbólica, la constituye “ Principia mathematica ” de Sir Bertand Russell (Inglaterra, 1872-1970) y Alfred North Whitehead (Inglaterra, 1861 - U.S.A., 1947), realizada en tres tomos, entre los años 1910 y 1913. En esta obra, se sustenta el concepto de que las matemáticas puras se obtienen de premisas lógicas puras, de modo que los conceptos que las definen también son conceptos lógicos puros.



__** LAS CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LA LÓGICA **__

1. Unidad: Sólo hay una forma de nuestra forma de conocer las cosas, sólo hay una lógica, una ciencia filosófica con tres planos:

a) Técnico (simbolismo), la lógica es la ciencia de los principios de validez formal de la inferencia, la presentación formalizada de las reglas del razonamiento formalmente correcto. En la lógica opera como modelo o como macro-modelo (macro-paradigma) el ideal de cálculo, el ideal de presentación formalizada. b) Conceptual: La lógica no es sólo lógica formal, sino un más vasto instrumento de exploración y análisis de marcos conceptuales. sino porque no tenemos más remedio, porque ellas forman la malla inicial de nuestro tejido intelectual; porque las reglas de la lógica son parte –parte fundamentalísima- de las reglas de entendimiento entre seres humanos; porque las reglas de la lógica nos constituyen formalmente.» Las concepciones de la lógica, Taurus, 1980, pg. 303. 2. Formalidad: La lógica es la ciencia de la verdad formal. Ofrece un canon de la inferencia deductiva en cualquier campo como teoría de la coherencia del razonamiento sobre cualquier materia.

3. Universalidad: Los principios lógicos merecen una consideración por separado porque son principios previos a todos los demás, son principios de todos los demás principios. «La relación entre la lógica y la ciencia empírica... Los principios lógicos son el superego, en lo formal, de los principios empíricos»,

4. Omniaplicabilidad: Los principios y reglas de la lógica sirven para todo saber.

5. Metacientificidad: La lógica es la ciencia de la forma de toda ciencia; la teoría de la fundamentación de todas las ciencias.

6. Metalingüisticidad: Los sitemas lógicos son marcos del uso argumentativo del lenguaje. Las verdades de la lógica son verdades del lenguaje, e. d., verdades en virtud de su propios estructura simbólica.

7. Autocriticismo: La lógica perfila sus propios límites. Ahí está la lógica.»

__** CLASIFICACIONES **__


 * Tipos de lógica **

Podemos clasificar los tipos de lógica desde dos puntos de vista, la lógica clásica y la moderna. Sin embargo dicha clasificación sólo sirve para efectos históricos, de ahí que mejor proponemos dividir, los distintos tipos de lógica, respecto a los objetos que trata.

La Lógica Formal es conocida también como lógica clásica o aristotélica, Se imputa al filosofo ARISTOTELES ser el creador de la misma, aunque ya existían antecedentes en PARMENIDES y ZELEO..



De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, cuantificacional y proposicional.

La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semántica y pragmática.

La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógica de las normas. Lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad.

La lógica modal: La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”.

La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partiendo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos).

__**DESARROLLO DE LA LÓGICA A LO LARGO DEL TIEMPO **__


 * La lógica en Mesopotamia **

En Mesopotamia, el Manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli, escrito en el siglo XI a. C., se basó en un conjunto lógico de axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visión moderna de que, a través del examen e inspección de los síntomas de un paciente, es posible determinar el problema del mismo, su etiología y su desarrollo futuro, y las posibilidades de recuperación. [] Durante los siglos VIII y VII, los astrónomos babilonios empezaron a utilizar una lógica interna en sus sistemas de predicción planetaria, que fue una importante contribución a la lógica y la filosofía de la ciencia. [] El pensamiento babilónico tuvo una considerable influencia en el pensamiento de la Grecia arcaica. []


 * La lógica en Grecia **

En Grecia, emergieron dos tradiciones lógicas opuestas. La lógica estoica estaba enraizada en Euclides de Megara, pupilo de Sócrates, y con su concentración en la lógica proposicional es la que quizás esté más próxima a la lógica moderna. Sin embargo, la tradición que sobrevivió a las influencias de culturas posteriores fue la peripatética, que tuvo su origen en el conjunto de obras de Aristóteles conocido como Organon, "instrumento", la primera obra griega sistemática sobre lógica.


 * La lógica en la India **

Dos de las seis escuelas indias de pensamiento están relacionadas con la lógica: Nyāya y Vaisheshika. Pero fue con Dignaga y su sucesor Dharmakirti con quienes la lógica budista alcanzó su mayor altura. Su análisis, centrado en la definición de la implicación necesariamente lógica, "vyapti", conocida también como concomitancia o penetración invariable.


 * La lógica en China **

En China, un contemporáneo de Confucio, Mozi, "Maestro Mo", es considerado como el fundador de la escuela Mohista (mohísmo), cuyos principios están relacionados con temas como la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que siguieron al mohísmo, los lógicos, es considerada por varios expertos como la primera que investigó la lógica formal.


 * La lógica en la filosofía islámica **

Durante un tiempo tras la muerte de Mahoma, la ley islámica consideró importante formular estándares para los argumentos, lo que dio lugar a una nueva aproximación a la lógica en Kalam, pero esta aproximación fue más tarde desplazada por ideas tomadas de la filosofía griega y helenística con el auge de los filósofos de la escuela Mu'tazili, que valoraron extraordinariamente el Organon de Aristóteles. Las obras de los filósofos islámicos con influencias helenísticas fueron cruciales para la recepción de la lógica aristótelica en la Europa medieval, junto con los comentarios sobre el Organon elaborados por Averroes. Las obras de al-Farabi, Avicenna, al-Ghazali y otros lógicos musulmanes que en ocasiones criticaron y corrigieron la lógica aristotélica e introdujeron sus propias formas de lógica, también desempeñaron un papel central en el subsecuente desarrollo de la lógica europea medieval. La lógica islámica no solo incluye el estudio de modelos formales de inferencia y su validación, sino también elementos de la filosofía del lenguaje y elementos de epistemología y metafísica. Debido a disputas con gramáticos árabes, los filósofos islámicos estuvieron muy interesados en trabajar en el estudio de las relaciones entre lógica y lenguaje, y dedicaron muchas discusiones a la cuestión del objeto de interés y objetivos de la lógica en relación con el razonamiento y el habla. En el área del análisis lógico-formal, elaboraron la teoría de los términos, proposiciones y silogismos. Consideraron el silogismo como la forma a la que toda argumentación racional podía reducirse, y consideraron la teoría silogística como el punto central de la lógica. Entre los más importantes desarrollos realizados por los lógicos musulmanes está el de la lógica de Avicena como sustituta de la lógica aristotélica. Desde el siglo XII, a pesar de la sofisticación lógica de al-Ghazali, el auge de la escuela Asharite al final de la Edad Media limitó poco a poco la obra original sobre lógica en el mundo islámico, aunque continuó posteriormente en el siglo XV.


 * La lógica en la Europa medieval **

Se entiende habitualmente por "lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") la forma de la lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval en el periodo de c 1200–1600. Esta tarea comenzó tras las traducciones al latín del siglo XII, cuando textos árabes sobre lógica aristotélica y la lógica de Avicena fueron traducidos a la lengua de Roma. Tras la fase inicial de traducciones, la tradición de la lógica medieval fue desarrollada en manuales como el de Petrus Hispanus (fl. siglo XIII), de identidad desconocida, que fue autor de un manual estándar sobre lógica, el Tractatus, que fue bien conocido en Europa durante varios siglos. Un rasgo del desarrollo de la lógica aristotélica se conoce con el nombre de teoría de la suposición, un estudio de la semántica de los términos de la proposición. La últimas grandes obras de esta tradición son Logic de John Poinsot (1589–1644, conocido como John of St Thomas), y Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548–1617).


 * La lógica tradicional **

La expresión "lógica tradicional" hace referencia, habitualmente, a la tradición de manuales que comienza con La logique ou l'art de penser de Antoine Arnauld y Pierre Nicole, más conocido como Lógica de Port-Royal. Publicada en 1662, fue la más influyente obra sobre lógica en Inglaterra hasta el Sistema Lógico de Mill de 1825 [N4]. Leibniz fue el primero en formular la noción de un sistema de lógica matemática aplicable de forma generalizada. Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879) extendió la lógica formal más allá de la lógica proposicional para incluir constructores como "todo" y "algunos". Mostró cómo introducir variables y cuantificadores para revelar la estructura lógica de las oraciones, que podría estar ocultas tras su estructura gramatical. En un magistral artículo de 1885 leído por Peano, Ernst Schröder y otros, Charles Peirce introdujo el término "Lógica de segundo orden" proporcionando la mayor parte de la moderna notación lógica, incluyendo los símbolos prefijados para la cuantificación universal y existencial. En 1889 Giuseppe Peano publicó la primera versión de la axiomatización lógica de la aritmética. Cinco de los nueve axiomas son conocidos como axiomas de Peano.

__**APLICACIONES O UTILIDAD **__

La lógica tiene importantes funciones en la construccion de las teorias cientificas, como las siguientes:

El razonamiento valido, establecido y examinado por la lógica formal, es utilizado, ya sea para concluir o para derivar conocimientos contenidos.

Con la lógica formal, ademas, es posible probar indirectamente ciertos conocimientos a partir de conocimientos previamente establecidos y verificados, los cuales sirven de premisas de las que pueden inferirse a los otros como conclusiones validas.

La lógica informal, que pretende no solo examinar la corrección de las argumentaciones sino enseñarnos a argumentar y ser mas racionales. La lógica de investigación se interesa por la verdad y la manera de obtenerla y fundamentarla, estudiando la practica cientifica.

LÓGICA FORMAL: La lógica formal tiene su origen en la Grecia antigua. Al estudio de la lógica formal se tituló el Organon.



__** DEFINICON DE LOGICA MATEMÁTICA **__ La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas. ** __CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN ÁREAS__ **


 * Lógica general (que incluye campos como la lógica modal y la lógica borrosa, etc )

**lógica difusa** o **lógica borrosa** se basa en lo relativo de lo observado. Este tipo de lógica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados y referidos entre sí. Así, por ejemplo, una persona que mida 2 metros es claramente una persona alta, si previamente se ha tomado el valor de persona baja y se ha establecido en 1 metro. Ambos valores están contextualizados a personas y referidos a una medida métrica lineal. En matemática, **teoría de modelos** es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en términos de la teoría de conjuntos, o el estudio de **modelos** que subyacen en sistemas matemáticos. La **Teoría** **de la computabilidad** es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo o equivalentemente con una máquina de Turing. La **teoría de conjuntos** es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. **Teoría cuántica de campos constructiva** es el campo dedicado a demostrar que la teoría cuántica es matemáticamente compatible con la relatividad especial. Esta demostración requiere nuevas matemáticas, en un sentido análogo a Newton desarrollando el cálculo infinitesimal para comprender el movimiento planetario y la gravedad clásica. Se cree que las fuerzas débil, fuerte y electromagnética tienen su descripción natural en base a campos cuánticos.
 * lógica de clases** Planteamiento extensional de la lógica de términos (V. clase, extensionalidad). Las clases se designan con las letras α, β, γ, etc.
 * lógica de predicados** Planteamiento intensional de la lógica de términos. (V. intensionalidad.)
 * lógica de relaciones** Parte de la lógica vinculada con la lógica de predicados por su planteamiento intensional y con la lógica de clases por su planteamiento extensional.
 * lógica de términos** Parte de la lógica moderna que trata del término. (V. término y cuantificador.)
 * lógica modal** Parte de la lógica proposicional que se refiere a los modos o grados del valor lógico de una proposición. (V. modalidad.)
 * lógica proposicional** Parte de la lógica moderna que estudia la estructura lógica de las proposiciones y sus relaciones.
 * Teoría de modelos
 * Teoría de la computabilidad
 * Teoría de conjuntos
 * Teoría de la demostración y matemática constructiva
 * Lógica algebraica


 * **__HISTORIA__**

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra. Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada. Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática. El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos). La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

__** APLICACIONES Y USOS **__

La **lógica matemática** estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

Se usa para: Proposiciones y operaciones lógicas. ** Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21 r: x > y-9 s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol. t: Hola ¿como estas? w: Lava el coche por favor. Los incisos **p ** y **q ** sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso **r ** también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables **x ** y **y ** en determinado momento. La proposición del inciso **s ** también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados **t ** y **w ** no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
 * 
 * Conectivos lógicos y proposiciones compuestas. **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: Operador and (y) Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica: Ejemplo. Sea el siguiente enunciado <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> Sean: p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p = q Ù r Su tabla de verdad es como sigue:


 * ** q ** || ** r ** || ** p = q Ù r ** ||
 * 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 0 ||
 * 0 || 0 || 0 ||

<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Donde. 1 = verdadero 0 = falso En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender. Operador Or (o) Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">Ú,+,È **}. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="color: #000000; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">. Donde. p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase.
 * ** q ** || ** r ** || ** p = q Ù r ** ||
 * 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 0 ||
 * 0 || 0 || 0 ||


 * ** q ** || ** r ** ||  ||   || La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0). ||

<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Operador Not (no) Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: { <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="color: #000000; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">, Ø,-}. Ejemplo.
 * p =q Ú r **
 * 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 1 ||
 * 0 || 1 || 1 ||
 * 0 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 1 ||
 * 0 || 0 || 0 ||


 * || La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p=0) ||



Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: p ® q Se lee <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Si p entonces q <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> Ejemplo. El candidato del PRI dice <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">  <span style="color: #000000; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean
 * p || p ||
 * 1 || 0 ||
 * 0 || 1 ||

<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">p: Salió electo Presidente de la República. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. p ® q Su tabla de verdad queda de la siguiente manera: Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso. En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo Sean las proposiciones: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje. r: Aprobaré el curso. El enunciado: <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: p Ù qÚ rPor otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not). Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: p « q Se lee <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">p si solo si q <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio de diez. por lo tanto su tabla de verdad es.
 * Proposiciones condicionales. **
 * ** p ** || ** q ** || ** p ® q ** ||
 * 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 1 ||
 * 0 || 0 || 1 ||

<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente: Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p ® q =1.


 * Proposición bicondicional.**
 * ** p ** || ** q ** || ** p « q ** ||
 * 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 0 ||
 * 0 || 0 || 1 ||


 * La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. ||

En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú (q <span style="font-family: 'Georgia','serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Ùr) ]« (r®q).

<span style="color: #000000; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2n Donde n = número de variables distintas. Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.
 * p || q || r || q || p®q || (qÙr) || (p®q)Ú (qÙr) || r®q || [(p®q)Ú (qÙr) ]« (r®q) ||
 * 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||
 * 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 ||
 * 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||
 * 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 ||
 * 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 ||
 * 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
 * <span style="color: #000000; font-family: 'Arial','sans-serif';">Tautología y contradicción. **

es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">. Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
 * p || q || p || q || p®q || q®p || (p®q)«(q®p) ||
 * 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 ||
 * 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 ||
 * 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1 ||
 * 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 ||

La proposición pÙp  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> equivale a decir que  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">La puerta es verde y la puerta no es verde  Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">equivalentes **. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q. Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q) y (q  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">®p  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q) º (q  <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">®p   Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">reglas de inferencia. ** Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Contradicción **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> . Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">falacia. ** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;"> Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">contingente. ** <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">)
 * <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">Equivalencia lógica. **
 * Reglas de inferencia **

<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 10pt; line-height: 115%;">El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración. Tablas de verdad.